简化数学方程

2023 作者: Nathaniel Hawkins | [email protected]. 上一次更改: 2023-05-21 06:07

能够简化代数方程是掌握代数基础的重要组成部分，也是所有数学家都可以使用的极其宝贵的工具。简化允许数学家将复杂、冗长和/或笨拙的表达式更改为更简单或更方便但等效的形式。简化的基础很容易学习--即使对于讨厌数学的人也是如此。通过几个简单的步骤，无需任何特殊的数学知识就可以简化许多最常见的代数表达式。

脚步

方法 1 of 4：理解关键概念

步骤 1. 通过变量和幂确定“相等项”。

在代数中，“相似项”具有相同的变量，具有相同的幂。换句话说，当两个项具有相同的变量或根本没有，并且每个变量具有相同的功效或没有时，它们就是“相似的”。项中变量的顺序无关紧要。

• 例如，3x² 和 4 倍² 是相等的项，因为每个项都有一个变量 x 的二次幂。变量 x 和 x² 不是相等的项，因为 x 在每项中具有不同的幂。同样，-3yx 和 5xz 不是相等的项，因为每个项由不同的变量组成。

步骤 2. 通过将数字写为两个因数的乘积来计算因数。

因式分解是一种将给定数字写为两个因子的乘积的方法。数字可以由多个因数组成--例如数字12，它可以由1×12、2×6和3×4组成，所以我们可以说1、2、3、4、6和12都是因数12 。另一种看待它的方式是，一个数的因数是它被整除的数。

• 例如：如果你想把 20 分成因子，你可以写成 4 × 5.
• 请注意，变量项也可以写为因子。例如 - 20x 可以写为 4(5x).
• 质数不能写成因数，因为它们只能被它们自己和 1 整除。

步骤 3. 使用助记符“我们应该如何摆脱不足”（或作为首字母缩写词 HMWVDOA）来记住操作的顺序。

有时，简化表达式只是执行表达式中的操作，直到无能为力。在这种情况下，了解操作顺序很重要，以避免计算错误。这个助记符可以帮助您记住编辑的顺序 - 字母对应于您需要执行的编辑类型和顺序。如果在同一问题中有乘法和除法，那么当你到达那个点时，你将不得不从左到右执行这些运算。加法和减法也是如此。上图给出了一个不正确的答案。最后一步没有算出从左到右的加减法。首先是计数。它应该是 25 - 20 = 5，然后是 5 + 6 = 11。

• 呵呵 蝙蝠
• 米 养八
• 宽 抽搐
• 伏 乘
• d 艾伦
• 哦 数数
• 一种 减去

方法 2 of 4：合并相似项

步骤 1. 写下你的方程式。

最简单的数学方程（那些只有几个变量和系数作为整数，没有分数、根等）通常可以通过几个步骤来求解。与大多数数学问题一样，简化方程的第一步是写出方程！

• 对于接下来的步骤，我们采用表达式 1 + 2x - 3 + 4x 举个例子。

步骤 2. 确定什么是相似项。

现在在你的方程中寻找相似的项。请记住，相似的术语都具有相同的变量和指数。

• 例如，让我们确定方程 1 + 2x - 3 + 4x 中的相等项。 2x 和 4x 都具有相同的变量以相同的幂（在这种情况下，x 变量根本没有指数）。此外，1 和 -3 是相等的项，因为它们都没有变量。所以在这个方程中是 2 倍和 4 倍 和 1 和 -3 同等条件。

步骤 3. 合并相似的术语。

现在您已经确定了相似项，您可以开始组合它们以简化您的等式。将项相加（或在负项的情况下减去它们）以将每组项（具有相同的变量和指数）简化为一项。

• 我们将示例中的相似项相加。

  • 2x + 4x = 6倍
  • 1 + -3 = - 2

步骤 4. 根据您的简化术语创建简化表达式。

组合您的相似术语后，从新的较小术语集构建一个表达式。您现在应该有一个更简单的表达式，其中对原始表达式中的每组变量和指数都有一个项。这个新表达式与第一个相同。

• 在我们的示例中，简化项是 6x 和 -2，因此新表达式变为 6x - 2.此简化表达式等效于原始 (1 + 2x - 3 + 4x)，但更短且更易于计算。分解更容易，正如我们将在下面看到的，这是一项重要的简化技能。

步骤 5. 合并同类项时要遵守操作顺序。

在我们在上面的问题中处理的那些非常简单的表达式中，识别相似的术语很容易。在更复杂的表达式中，例如在括号、分数和根中包含项的表达式中，合并类似项不会立即显而易见。在这些情况下，您按照运算顺序对表达式中的项执行运算，直到只剩下加法和减法。

• 例如，假设我们有方程 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x。那么立即将 3x 和 2x 视为相等项并将它们组合起来是不正确的，因为表达式中的括号规定我们必须首先执行其他操作。首先，让我们按照运算的顺序在表达式中进行算术运算，以获得我们可以使用的术语。见下文：

  • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x² + 8 - 3 倍。直到现在，由于剩下的唯一运算是加法和减法，我们可以组合类似的术语。
  • X² + (15x - 3x) + (8 - 5)
  • X² + 12x + 3

方法 3 of 4：因式分解

步骤 1. 找出表达式中的最大公约数。

因式分解是一种通过删除出现在表达式所有项中的因子来简化表达式的方法。首先，找到表达式中所有项的最大公约数--换句话说，表达式中所有项的最大公约数。

• 假设我们采用等式 9x² + 27x - 3。注意这个方程中的每一项都可以被 3 整除。因为没有一项可以被任何其他更大的数整除，我们可以说

  第 3 步。 我们表达的最大公分母。

步骤 2. 将表达式中的项除以最大公约数。

然后将方程中的每一项除以您刚刚找到的最大公约数。结果项的系数都将小于原始表达式中的系数。

• 让我们使用最大公约数 3 来分解我们的方程。 我们通过将每一项除以 3 来实现。

  • 9倍²/3 = 3 倍²
  • 27x/3 = 9x
  • -3/3 = -1
  • 所以新的表达式是 3倍² + 9x - 1.

步骤 3. 将表达式写为最大公约数和其余项的乘积。

你的新表达和旧表达不一样，所以说它是简化版是不正确的。为了使新表达式等于旧表达式，我们必须考虑到它除以最大公约数。把你的新表达式放在括号里，并将原方程的最大公约数写成表达式的系数，也放在括号里。

• 对于我们的示例表达式，3x² + 9x - 1，我们将表达式放在括号中，并将该项乘以原方程的最大公约数 3(3x² + 9x - 1) 要得到。这个等式相当于原来的，9x² + 27 倍 - 3。

步骤 4. 简化分数的因子。

您现在可能想知道，如果删除最大公约数后的新表达式必须再次与它相乘，那么分解为什么有用。因式分解允许数学家使用许多技巧来简化表达式。这些技巧中最简单的一个使用了这样一个事实：将分数的分子和分母乘以相同的数字会产生相同比例的分数。见下文：

• 假设我们的原始示例表达式 9x² + 27x - 3，等于以 3 作为分母的较大分数的分子。这个分数看起来像这样：（9x² + 27x - 3)/3。我们可以使用因式分解来简化这个分数。

  • 将原始表达式的因式分解形式添加到分子上：(3(3x² + 9x - 1))/3
  • 请注意，分子和分母的系数均为 3。如果将分子和分母除以 3，则得到：(3x² + 9x - 1)/1。
  • 由于分母为“1”的分数等于分子中的项，我们可以说我们的原始分数可以简化为 3倍² + 9x - 1.

方法 4（共 4 个）：应用简化

步骤 1. 通过除以等因数来化简分数。

如上所述，如果表达式的分子和分母具有相同的因子，则可以从分数中去除这些因子。有时，这需要对分子、分母或两者都进行因式分解（如上例中的情况），而在其他情况下，共享因数是显而易见的。请注意，也可以将分子中的各个项除以分母中的表达式以获得简化的表达式。

• 让我们处理一个示例，它不一定需要您将它们写出来以进行简化。假设你有分数 (5x² + 10x + 20)/10，然后您可以将分子中的每一项除以分母中的 10，以简化整个事情，即使“5”在 5x 中² 不大于 10 并且不可能选择 10 作为因子。

  • 通过这样做，我们得到 ((5x²)/10) + x + 2. 如果我们愿意，我们可以将第一项重写为 (1/2)x² 在 (1/2)x² + x + 2 得到。

步骤 2. 使用平方根来简化根。

平方根符号下的表达式称为平方根方程。您可以通过确定平方根（本身形成整数的二次幂的因子）来简化这些，然后减去这些因子的平方根以从根号中减去它们。

• 让我们举一个简单的例子 - √(90)。如果我们把数字90作为9和10两个因数的乘积，我们可以计算9的平方根得到3，把它放在根号前面。换句话说：

  • √(90)
  • √(9 × 10)
  • (√(9) × √(10))
  • 3 × √(10)
  • 3√(10)

步骤 3. 将两个指数项相乘时将指数相加，相除时将它们相减。

一些代数方程需要乘以或除以指数项。在这里，您无需计算每个指数项，也无需手动乘除或除法，而是将每个项的指数相乘时将它们相加并在除法时减去它们，从而节省了大量时间。您还可以应用此概念来简化具有多个变量的方程。

• 例如，假设我们有表达式 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/X¹⁵）。在任何需要乘或除指数的情况下，我们分别减去或增加指数，以快速求解简化项。见下文：

  • 6倍³ × 8x⁴ + (x¹⁷/X¹⁵)
  • (6×8)x^{3 + 4} + (x^{17 - 15})
  • 48x⁷ + x²

• 有关解释，请参见下文：

  • 乘以指数项本质上与乘以不带指数的长项串相同。例如，因为 x³ = x × x × x 和 x ⁵ = x × x × x × x × x, x³ × ×⁵ = (x × x × x) × (x × x × x × x × x)，或 x⁸.
  • 类似地，划分指数项与划分没有指数的长项串相同。 X⁵/X³ = (x × x × x × x × x)/(x × x × x)。由于分子中的任何一项都可以与分母中的相同项相抵消，所以我们在分子中留下了两个 x，而在分母中没有一个 x，给我们 x² 留下作为答案。

提示

• 请记住，您应该将这些数字视为正数或负数。很多人遇到这个问题会想，“我应该在这里放什么标志？”
• 如果需要，请寻求帮助！
• 简化数学方程式并不容易，但是一旦掌握了窍门，就可以终生使用它。

警告

• 注意不要意外添加一些不属于那里的额外数字、指数或运算。
• 始终注意同类项，不要让指数欺骗您。